Data Structure Basic

Who am I?

eddy1021,eddy,艾迪,欸底,...
PECaveros

What you will learn?

堆疊 stack
佇列 queue
雙端佇列 deque
優先佇列 priority queue

And also

並查集 disjoint set
線段樹 segment tree
樹堆 treap
...

Let's fight!

堆疊 Stack

What is stack?

後進先出, Last In First Out
支援push, pop

How to do so?


#include <stack>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int main(){
  stack<int> s;
  s.push( 514 ); s.push( 514514 );
  printf( "%d\n" , (int)s.size() ); // 2
  printf( "%d\n" , s.top() ); // 514514
  s.pop();
  printf( "%d\n" , s.top() ); // 514
  s.pop();
  printf( "%s\n" , s.empty() ? "empty" : "not empty" );
  // empty
}

常見題型

一臉堆疊樣
維護凸包
維護單調性

寬 $N$ 的直方圖，第 $i$ 單位寬的部分高 $h_i$，問面積最大的矩形？

枚舉左右界

最佳矩形高度爲 $\min\{ h_L, h_{L+1}, \ldots, h_R \}$

最佳左右界

往外擴到底！

單調性

若存在 $j$ < $i$ 且 $h_j$ > $h_i$，則 $i$ 以後 $h_j$ 無法成爲區間極值

計算最佳左右界

考慮 $h_i$
堆疊頂端 $h_j \ge h_i$，則pop
若堆疊爲空，最佳左(右)界爲1，否則爲 $j+1$(堆疊頂端爲 $h_j$)
push $h_i$

計算最佳左右界


stack<int> S;
for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
  while( S.size() && h[ S.top() ] >= h[ i ] ) S.pop();
  L[ i ] = 1 + ( S.size() ? S.top() : 0 );
  S.push( i );
}
while( S.size() ) S.pop();
for( int i = n ; i >= 1 ; i -- ){
  while( S.size() && h[ S.top() ] >= h[ i ] ) S.pop();
  R[ i ] = ( S.size() ? S.top() : n + 1 ) - 1;
  S.push( i );
}

佇列 Queue

What is queue?

先進先出, First In First Out
支援push, pop

How to do so?


#include <queue>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int main(){
  queue<int> q;
  q.push( 514 ); q.push( 514514 );
  printf( "%d\n" , (int)q.size() ); // 2
  printf( "%d\n" , q.front() ); // 514
  q.pop();
  printf( "%d\n" , q.front() ); // 514514
  q.pop();
  printf( "%s\n" , q.empty() ? "empty" : "not empty" );
  // empty
}

常見題型

一臉佇列樣
Breadth First Search(BFS)!
~~中國人排隊問題~~

$R \times C$的地圖上，有障礙物、人(恰一個)、起火點(若干個)，問人是否能在不受火災侵襲而逃出迷宮？

火很多QQ

要 BFS 很多次，複雜度 $O(R\times C \times R \times C)$

全部火一起BFS!

複雜度 $O(R\times C )$


while( q.size() ){
  PII tp = q.front(); q.pop();
  int nr = tp.first;
  int nc = tp.second;
  for( int i = 0 ; i < 4 ; i ++ ){
    int nxtr = nr + dr[ i ];
    int nxtc = nc + dc[ i ];
    if( !in( nxtr , nxtc ) )
      ans = min( ans , dst[ nr ][ nc ] + 1 );
    else if( m[ nxtr ][ nxtc ] != '#' &&
             dst[ nr ][ nc ] + 1 < dst[ nxtr ][ nxtc ] ){
      dst[ nxtr ][ nxtc ] = dst[ nr ][ nc ] + 1;
      q.push( { nxtr , nxtc } );
    }
  }
}

雙端佇列 Deque

What is deque?

都進都出, Both In Both Out
支援兩端push, pop

How to do so?


#include <deque>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int main(){
  deque<int> dq;
  dq.push_back( 514 ); // 514
  dq.push_back( 514514 ); // 514 514514
  dq.push_front( 514514514 ); // 514514514 514 514514
  printf( "%d\n" , (int)dq.size() ); // 3
  printf( "%d\n" , dq.front() ); // 514514514
  printf( "%d\n" , dq.back() ); // 514514
  dq.pop_front();
  printf( "%d\n" , dq[ 1 ] ); // 514514
}

STL 中 deque 支援random access!

常見題型

一臉得可樣
維護單調性與區間長度
DP斜率優化

給長度 $N$ 的序列 $a$ 及正整數 $K$。求出所有 $b_i = max\{ a_{i-K+1}, a_{i-K+2}, \cdots, a_i \}$

當 i < j 且 $a_i$ < $a_j$，則 $a_i$ 就再也不可能是答案

同時維護長度！


deque<int> dq;
for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
  while( dq.size() && dq.front()<=i-k ) dq.pop_front();
  while( dq.size() && a[dq.back()]<=a[i] ) dq.pop_back();
  dq.push_back( i );
  b[ i ] = a[ dq.front() ];
}

優先佇列

Priority Queue

What is priority queue?

VIP制
優先權越高，越早出來
支援push, pop

How to do so?


#include <queue>
#include <stdio.h>
using namespace std;
typedef priority_queue<int> Heap;
int main(){
  Heap h;
  h.push( 5 ); h.push( 1 ); h.push( 4 );
  printf( "%d\n" , (int)h.size() ); // 3
  printf( "%d\n" , h.top() ); // 5
  h.pop();
  printf( "%d\n" , h.top() ); // 4
  h.push( 2 );
  printf( "%d\n" , h.top() ); // 4
  h.pop();
  printf( "%d\n" , h.top() ); // 2
}

STL 中優先權大者爲值較大者

自定義比較函式


struct cmp{
  bool operator()( int a , int b ){
    return a % 3 < b % 3;
  }
};
int main(){
  priority_queue<int, vector<int>, cmp> h;
  h.push( 4 );
  printf( "%d\n" , h.top() ); // 4, 4 % 3 == 1
  h.push( 51 );
  printf( "%d\n" , h.top() ); // 4, 51 % 3 == 0
  h.push( 104 );
  printf( "%d\n" , h.top() ); // 104, 104 % 3 == 2
}

常見問題

Greedy的輔助工具
動態維護極值

非負權圖上單源最短路

Dijkstra 算法


vector<PII> e[ N ];
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > heap;
void Dijkstra( int source ){
  heap.push( { 0 , source } );
  while( heap.size() ){
    PII tp = heap.top(); heap.pop();
    int tdst = tp.first , tnode = tp.second;
    if( vst[ tnode ] ) continue;
    dst[ tnode ] = tdst;
    vst[ tnode ] = true;
    for( size_t i = 0 ; i < e[ tnode ].size() ; i ++ ){
      int nxt = e[ tnode ][ i ].first;
      int nxtdst = e[ tnode ][ i ].second + dst[ tnode ];
      if( vst[ nxt ] ) continue;
      heap.push( { nxtdst , nxt } );
    }
  }
}

這樣就滿足了嗎？

Black Magic


#include <bits/extc++.h>
#include <stdio.h>
using namespace __gnu_pbds;
typedef priority_queue<int> heap;
int main(){
  heap h1 , h2;
  h1.push( 1 ); h1.push( 3 );
  h2.push( 2 ); h2.push( 4 );
  h1.join( h2 );
  printf( "%d\n" , (int)h1.size() ); // 4
  printf( "%d\n" , (int)h2.size() ); // 0
  printf( "%d\n" , h1.top() ); // 4
  h1.pop();
}

插入及合併$\Theta(1)$!

並查集

Disjoint Set

What is disjoint set?

維護兩兩互斥的集合
支援合併及查詢

How to do so?

沒有現成的可以用QQ

How to do so?

超好寫！


struct DisjointSet{
  int p[ N ];
  void Init( int n ){
    for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) p[ i ] = i;
  }
  int Find( int x ){
    return x == p[ x ] ? x : Find( p[ x ] );
  }
  void Union( int x , int y ){
    p[ Find( x ) ] = Find( y );
  }
};

Upgrade!! 路徑壓縮


int Find( int x ){
  return x == p[ x ] ? x : p[ x ] = Find( p[ x ] );
}

查詢複雜度$O(\lg N)$

Upgrade again!! Union by rank

啓發式合併的思想

查詢複雜度$O(\lg N)$


int p[ N ] , sz[ N ];
void Init( int n ){
  for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    p[ i ] = i, sz[ i ] = 1;
}
void Union( int x , int y ){
  x = Find( x ); y = Find( y );
  if( x == y ) return;
  p[ x ] = y;
  sz[ y ] += sz[ x ];
}

雙管齊下！

操作均攤複雜度$O(\alpha(n))$

常見問題

連通塊
等價性質

無向圖 $G$，$N$ 個點、$M$ 條邊，破壞 $Q$ 條邊，問每破壞一條邊後連通塊數？

剛剛好像沒有教過將並查集分裂...

時光倒流！

破壞 $\rightarrow$ 建造

三類動物，$A$ 吃 $B$、$B$ 吃 $C$、$C$ 吃 $A$。給 $N$ 個動物，$K$ 筆資訊包含：

$X$ 和 $Y$ 是同類
$X$ 吃 $Y$

問有多少條資訊錯誤？

連通塊?

$X$ 吃 $Y$ 是同一個集合？

維護不互斥的資訊！

資訊：$X_i$，$X$ 屬於第 $i$ 類

$X$ 和 $Y$ 同類

檢查是否有 $X_A$ 和 $Y_B,Y_C$ 同類，...
將 $X_A,Y_A$、$X_B,Y_B$、$X_C,Y_C$ 合併爲一個並查集

$X$ 吃 $Y$

檢查是否有 $X_A$ 和 $Y_A,Y_C$ 同類，...
將 $X_A,Y_B$、$X_B,Y_C$、$X_C,Y_A$ 合併爲一個並查集


if( type == 1 ){
  if( djs.Find( trans( x , 0 ) ) == djs.Find( trans( y , 1 ) ) ||
      djs.Find( trans( x , 0 ) ) == djs.Find( trans( y , 2 ) ) ){
    fake ++; continue;
  }
  for( int i = 0 ; i < 3 ; i ++ )
    djs.Union( trans( x , i ) , trans( y , i ) );
}else{
  if( djs.Find( trans( x , 0 ) ) == djs.Find( trans( y , 0 ) ) ||
      djs.Find( trans( x , 0 ) ) == djs.Find( trans( y , 2 ) ) ){
    fake ++; continue;
  }
  for( int i = 0 ; i < 3 ; i ++ )
    djs.Union( trans( x , i ) , trans( y , ( i + 1 ) % 3 ) );
}

這樣就滿足了嗎？

(again)

Connected?

給你 $N$ 個點，$Q$ 筆操作：加邊或將最近 $k$ 條邊拔除，每筆操作完輸出連通塊個數

Connected?

可持久化 Disjoint Set?
倒著做?

Undo disjoint set!

Find, Union都是一些assign操作!

Undo disjoint set!


vector< pair<int*,int> > h; vector<int> sp;
void assign( int *k, int v ){ h.push_back( {k, *k} ); *k = v; }
void save(){ sp.push_back(h.size()); }
void undo(){
  int last=sp.back(); sp.pop_back();
  while( h.size()!=last ){
    auto x=h.back(); h.pop_back();
    *x.first = x.second;
  }
}
void Union( int x , int y ){
  x = Find( x ); y = Find( y );
  if( x == y ) return;
  assign( &sz[ x ] , sz[ x ] + sz[ y ] );
  assign( &p[ y ] , x );
}

線段樹

Segment Treee

給你長度 $N$ 的序列 $v$，$Q$ 筆操作：

將 $v_i$ 加上 $d$
詢問區間 $[l,r]$ 的總和

What is segment tree?

二元樹狀結構
處理區間問題

實作方式-node


struct Node{
  int val;
  Node *lc , *rc;
  Node(){ val = 0; lc = rc = NULL; }
  void pull(){
    val = lc->val + rc->val;
  }
};

初始化線段樹四部曲

葉節點直接得到資訊
建立左子樹
建立右子樹
pull

實作方式-build


Node* build( int L , int R ){
  Node *node = new Node();
  if( L == R ){
    node->val = v[ L ];
    return node;
  }
  int mid = ( L + R ) >> 1;
  node->lc = build( L , mid );
  node->rc = build( mid + 1 , R );
  node->pull();
  return node;
}

修改線段樹三部曲

葉節點直接修改資訊
修改包含 $i$ 的子樹
pull

實作方式-modify


void modify( Node* node , int L , int R , int i , int d ){
  if( L == R ){
    assert( L == i );
    node->val += d;
    return;
  }
  int mid = ( L + R ) >> 1;
  if( i <= mid ) modify( node->lc , L , mid , i , d );
  else modify( node->rc , mid + 1 , R , i , d );
  node->pull();
}

詢問線段樹五步驟

區間不相交，直接回傳
區間包含，回傳節點上資訊
收集左子樹資訊
收集右子樹資訊
結合兩子樹資訊

實作方式-query


int query( Node* node , int L , int R , int ql , int qr ){
  if( ql > R || qr < L ) return 0;
  if( ql <= L && R <= qr ) return node->val;
  int mid = ( L + R ) >> 1;
  return query( node->lc , L , mid , ql , qr ) +
         query( node->rc , mid + 1 , R , ql , qr );
}

給你長度 $N$ 的序列 $v$，$Q$ 筆操作：

將區間 $[l,r]$ 都加上 $d$
詢問區間 $[l,r]$ 的總和

擴充包-線段樹懶標記(Lazy tag)

Push!


void push( Node* node , int L , int R ){
  if( !node->tag ) return;
  if( L != R ){ // check leaf
    int mid = ( L + R ) >> 1;
    node->lc->tag += node->tag;
    node->rc->tag += node->tag;
    node->lc->val += node->tag * ( mid - L + 1 );
    node->rc->val += node->tag * ( R - mid );
  }
  node->tag = 0;
}

線段樹懶標記

修改、詢問時，遇到標記即push!

牛刀小試

$N \times N$($N \le 10^9$) 矩陣初始值爲零，$Q$ 筆操作:

將 $(x,y)$ 座標加上 d
詢問 $(x_1,y_1)$ 到 $(x_2,y_2) 子矩陣的和。$

離散化？

空間爆炸

擴充包2-copy on write

用到的點很少，那要用再開！

實作方式

要往下走時先確認有沒有該節點(想想 Trie!)

pull 時確認是否有該節點


int Val2( Node2* node ){ return node ? node->val : 0; }
void pull2( Node2* node ){
  node->val = Val2( node->lc ) + Val2( node->rc );
}

牛刀小試2

給長度 $N 的序列 $v$，$Q$ 筆操作:

將 $v_i$ 加上 d
詢問第 $k$ 筆操作後，區間 $[l,r]$ 的總和

強迫在線

擴充包3-可持久化

一個版本長一棵！

實作方式

共同指向共用的節點

修改時新增自己用到的節點

詢問完全一樣！

三刀並用

區間修改 $\rightarrow$ 懶標記
大範圍區間 $\rightarrow$ Copy on write
版本控制 $\rightarrow$ 可持久化

區間反轉、區間搬移、區間複製、$\cdots$

樹堆 Treap

邁向序列操作大師之路！

What is Treap?

Tree+Heap
滿足樹性質
滿足堆性質

樹性質？

Key $\ge$ 左子節點的 Key
Key $\le$ 右子節點的 Key

堆性質？

Pri $\ge$ 左子節點的 Pri
Pri $\ge$ 右子節點的 Pri

實作方式-Node


struct Treap{
  Treap *l , *r;
  int pri , key , val;
  Treap( int _val , int _key ) :
    val( _val ) , key( _key ), l( 0 ), r( 0 ), pri( rand() ) {}
};

實作方式-merge

合併三部曲

樹爲空？
誰當根？
要做誰？

實作方式-merge


Treap* merge( Treap* a , Treap* b ){
  if( !a || !b ) return a ? a : b;
  if( a->pri > b->pri ){
    a->r = merge( a->r , b );
    return a;
  }else{
    b->l = merge( a , b->l );
    return b;
  }
}

實作方式-split

分裂三部曲

樹爲空？
根送誰？
要做誰？

實作方式-split


void split( Treap* t , int k , Treap *&a , Treap *&b ){
  if( !t ) a = b = NULL;
  else if( t->key <= k ){
    a = t;
    split( t->r , k , a->r , b );
  }else{
    b = t;
    split( t->l , k , a , b->l );
  }
}

沒有其他操作？

插入操作-Insert


Treap* insert( Treap* t , int k ){
  Treap *tl , *tr;
  split( t , k , tl , tr );
  return merge( tl , merge( new Treap( k ) , tr ) );
}

刪除操作-remove


Treap* remove( Treap* t , int k ){
  Treap *tl , *tr;
  split( t , k - 1 , tl , t );
  split( t , k , t , tr );
  return merge( tl , tr );
}

Data Structure Basic

Who am I?

What you will learn?

And also

Let's fight!

堆疊 Stack

What is stack?

How to do so?

常見題型

枚舉左右界

最佳左右界

單調性

計算最佳左右界

計算最佳左右界

佇列 Queue

What is queue?

How to do so?

常見題型

火很多QQ

全部火一起BFS!

雙端佇列 Deque

What is deque?

How to do so?

STL 中 deque 支援random access!

常見題型

優先佇列

Priority Queue

What is priority queue?

How to do so?

STL 中優先權大者爲值較大者

自定義比較函式

常見問題

非負權圖上單源最短路

Dijkstra 算法

這樣就滿足了嗎？

Black Magic

插入及合併$\Theta(1)$!

並查集

Disjoint Set

What is disjoint set?

How to do so?

沒有現成的可以用QQ

How to do so?

超好寫！

Upgrade!! 路徑壓縮

查詢複雜度$O(\lg N)$

Upgrade again!! Union by rank

啓發式合併的思想

查詢複雜度$O(\lg N)$

雙管齊下！

操作均攤複雜度$O(\alpha(n))$

常見問題

剛剛好像沒有教過將並查集分裂...

時光倒流！

連通塊?

$X$ 吃 $Y$ 是同一個集合？

維護不互斥的資訊！

資訊：$X_i$，$X$ 屬於第 $i$ 類

$X$ 和 $Y$ 同類

$X$ 吃 $Y$

這樣就滿足了嗎？

(again)

Connected?

Connected?

Undo disjoint set!

Undo disjoint set!

Undo disjoint set!

線段樹

Segment Treee

What is segment tree?

實作方式-node

初始化線段樹 四部曲

實作方式-build

修改線段樹 三部曲

實作方式-modify

詢問線段樹 五步驟

實作方式-query

擴充包-線段樹懶標記(Lazy tag)

Push!

線段樹懶標記

初始化線段樹四部曲

修改線段樹三部曲

詢問線段樹五步驟